5.10 Fuerzas fundamentales es de la naturaleza Aplicaciones

5.10 Fuerzas fundamentales es de la naturaleza Aplicaciones

Fuerza de gravedad


© TAILY/ISTOCK/THINKSTOCK

Esta es una fuerza puramente atractiva, ya que dos cuerpos con masa siempre tienden a atraerse por la fuerza de gravedad, a diferencia de otras fuerzas en las que también se pueden rechazar los objetos. Esta fuerza es la que mantiene a los planetas orbitando y girando alrededor del Sol, así como también por ejemplo a nuestro satélite natural, la Luna, que orbita alrededor de la Tierra. El gran Albert Einstein clarificó el concepto que teníamos de la fuerza de gravedad en su teoría general de la relatividad, como la curvatura del espacio-tiempo causada alrededor de cualquier objeto que tuviera masa.
Fuerza electromagnética


LITTLEMAN/ISTOCK/THINKSTOCK

Una de las fuerzas que mejor conocemos y también a las que más habituados estamos, esta se da a través de partículas que se encuentran cargadas eléctricamente. Aquí, sin embargo, podemos tener una fuerza de atracción (partículas de diferente carga) o una fuerza de repulsión (misma carga). En el pasado se consideraba a la fuerza eléctrica y magnética como fuerzas distintas, pero James Clerk Maxwell las unificó en 1864, en su llamada ecuación de Maxwell.
Fuerza nuclear débil


VLADIMIR ARNDT/ISTOCK/THINKSTOCK

Tal como su nombre lo indica, la fuerza nuclear débil o "interacción débil" es una fuerza débil si lo comparamos con las otras tres anteriores, aunque tiene una función muy importante. Esta fuerza actúa a nivel de los núcleos atómicos y es la que permite la fusión de, por ejemplo, el hidrógeno, que es lo que nos permite no solo disfrutar de la luz del Sol, sino concebir la existencia misma tal como lo hacemos, siendo verdaderamente fundamental.
Fuerza nuclear fuerte


SERGEY NIVENS/ISTOCK/THINKSTOCK

Esta es la más fuerte de todas las fuerzas, esta fuerza permite a los nucleones (los protones y los neutrones) mantenerse unidos a pesar de la fuerza de repulsión que existe entre ellas (los protones tienen la misma carga eléctrica positiva por lo que se rechazan mutuamente). Esta fuerza se considera de corto alcance, ya que permite que los protones del núcleo se encuentren unidos, por lo que solo afecta al mismo núcleo.

Si tuviera más alcance, entonces haría que todos los núcleos se unieran en un solo gran núcleo, lo cual no sucede. Muchos físicos creen que las cuatro fuerzas son en realidad manifestaciones de una sola fuerza, como sucedió al principio con la fuerza eléctrica y magnética que se consideraban diferentes. Incluso existe la teoría de que en el origen del universo era una sola fuerza, la cual se dividió en las cuatro fuerzas fundamentales de las que hablamos.

5.9 Fuerzas de fricción Dinámica del movimiento circular.

5.9 Fuerzas de fricción Dinámica del movimiento circular.

Ecuación de la dinámica del movimiento circular
 En el estudio del movimiento circular uniforme hemos visto la velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia constantemente de dirección. El móvil tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro de la trayectoria, denominada aceleración normal y cuyo módulo es




La segunda ley de Newton afirma que la resultante de las fuerzas F que actúan sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es igual al producto de la masa m por la aceleración normal an.

F=m an

Vamos a estudiar dos ejemplos de movimiento circular: un vehículo que se mueve por una pista circular sin peralte, y un regulador centrífugo.


Curva sin peralte

En el primer ejemplo, examinamos la conducta de un coche que describe una curva sin peralte.

Una de las principales dificultades que se presenta a la hora de resolver este problema es la de separar el movimiento tangencial (uniforme con velocidad constante) del movimiento radial del vehículo que es el que se trata de estudiar. El applet que presentamos a continuación tratará de ayudar a superar esta dificultad.
Fundamentos físicos

Suponemos que el vehículo circula con velocidad constante, y que actúa sobre el mismo una fuerza de rozamiento en la dirección perpendicular a su vector velocidad.



Las fuerzas que actúan sobre el móvil son tres, el peso, la reacción del plano y la fuerza de rozamiento. Esta última es la que hace que el vehículo describa una trayectoria circular.

Como hay equilibrio en sentido vertical la reacción del plano es igual al peso

N=mg

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento en la dirección radial



Siendo v la velocidad del móvil y R el radio de la circunferencia que describe

A medida que se incrementa la velocidad v, se incrementa la fuerza de rozamiento Fr hasta que alcanza un valor máximo dado por el producto del coeficiente de rozamiento estático por la reacción del plano, m N.

La velocidad máxima v que puede alcanzar el vehículo para que describa una curva circular de radio R es, por tanto



Como podemos apreciar en el programa interactivo, a medida que se aumenta la velocidad del móvil la fuerza de rozamiento crece hasta alcanzar el valor máximo m N, la trayectoria del vehículo es una circunferencia.



Si la velocidad del móvil es superior a la máxima, la fuerza de rozamiento, que es perpendicular al vector velocidad, tiene un valor constante e igual a su valor máximo, la trayectoria del móvil deja de ser circular y ha de calcularse aplicando procedimientos numéricos. Para simplificar el problema hemos supuesto que el coeficiente de rozamiento estático y dinámico tienen el mismo valor.

5.8 Modos normales de una cuerda

5.8 Modos normales de una cuerda

Consideremos ondas estacionarias en una cuerda(o en un tubo acústico). Distinguiremos tres situaciones: 1) Los dos extremos están fijos. Por lo tanto corresponden a nodos de la onda estacionaria. Sea L el largo de la cuerda(o del tubo acústico). Se tiene que: 










Esto es: 










Sólo estas longitudes de onda se mantendrán en la cuerda con dos extremos fijos (modos normales). Las frecuencias naturales asociados con estos modos son: 










n=1 se llama la frecuencia fundamental y los otros el n-ésimo armónico. Ej: Los tonos de una guitarra. Para una guitarra de densidada lineal de masa  y tensión T se tiene: 










la frecuencia de los armónicos es: 










En general, en un momento dado, la cuerda vibra con la frecuencia de varios armónicos, dependiendo de las condiciones iniciales. 2) Un extremo fijo y el otro libre. En este caso el extremo fijo debe ser un nodo y el libre un antinodo de la onda estacionaria. Calculando la distancia entre un nodo y un antinodo se encuentra que: 










Esto es: 










3) Los dos extremos libres. Los dos extremos son antinodos. Se tiene que: 










Esto es: 

5.7 Ondas estacionarias en una cuerda

5.7 Ondas estacionarias en una cuerda


Cuando dos ondas que se propagan en sentidos opuestos interfieren, se produce una situación muy curiosa: la onda resultante tiene una amplitud que varía de punto a punto, pero cada uno de los puntos oscila con MAS, y en fase con los demás, dando lugar a lo que se conoce como ondas estacionarias.


Las ondas estacionarias pueden observarse en una cuerda sujeta por ambos extremos en la que se produce una vibración. La onda que viaja hacia la derecha se encuentra con la que se refleja en el extremo fijo y se produce la interferencia de ambas.

La cuerda que se ve en el vídeo se hace vibrar mediante un dispositivo muy corriente en los laboratorios escolares (frecuencia = 50 Hz).

No todas las ondas son posibles, ya que aquellas que no tengan un nodo en los extremos están prohibidas. Existe, por tanto, una restricción física (condición de contorno): la longitud de la cuerda tiene que ser un múltiplo entero de una semilongitud de onda:



La velocidad a la que la onda se propaga por la cuerda depende de la densidad lineal de ésta (m) y de su tensión (T):

 




Combinando ambas expresiones obtenemos una tercera que nos da la tensión que debe tener la cuerda para que se formen las ondas permitidas:



Así:

5.6 lnterferencia de ondas, condiciones de frontera y superposición

5.6 lnterferencia de ondas, condiciones de frontera y superposición


INTERFERENCIA DE ONDAS


Se produce interferencia cuando varias ondas coinciden en un mismo punto del medio por el que se propagan. Las vibraciones se superponen y el estado de vibración resultante del punto es la suma de los producidos por cada onda.

En las figuras adjuntas se representa la evolución de dos estados de vibración transmitidos a un punto cuando es alcanzado por dos ondas armónicas de la misma frecuencia. En el caso representado por el dibujo situado más a la izquierda los estados de vibración (verde y rojo) llegan al punto en fase y el resultado de su superposición es una vibración (azul) de mayor intensidad. En ese punto tiene lugar unainterferencia constructiva. En el otro dibujo las vibraciones llegan en oposición de fase y el resultado de su superposición es una vibración de menor intensidad (podría ser nula). Se produce unainterferencia destructiva.

Para practicar este concepto hemos diseñado una animación Modellus interactiva. Representa dos estados de vibración armónica simple y su superposición.  Se pueden modificar las amplitudes de las dos vibraciones y el desfase entre ellas, comprobando cómo afecta la modificación a la evolución del estado de vibración resultante de su superposición. También se representan tres partículas virtuales que simulan las vibraciones, y el punto del medio vibrante donde se superponen esos dos estados de vibración. Aplicando el desfase adecuado, el usuario puede lograr que ese punto vibre con amplitud máxima (interferencia constructiva) o nula (interferencia destructiva) La forma de producir interferencias consiste en hacer incidir una onda sobre una pared con dos aberturas. Se produce difracción en cada una de ellas y al otro lado de la pared se superponen las dos ondas secundarias dando lugar a interferencias constructivas y destructivas A la derecha se representa esta situación. Las líneas de color continuas del esquema representan puntos en concordancia de fase con cada foco (situado en una rendija) y las líneas discontinuas a puntos en oposición de fase con él. A los puntos como B, C o D las ondas rojas (procedentes de F1) llegan en fase con las ondas azules (procedentes de F2) mientras que a puntos como el A, las ondas rojas llegan en oposición de fase con las azules. Así se delimitan unas zonas donde se produce interferencia constructiva (se representan por líneas negras de trazo continuo) y otras en las que se produce interferencia destructiva  (representadas por líneas negras de trazo discontinuo).

Las figuras adjuntas muestran el aspecto que adquiere una onda difractada de este modo y la distribución de la intensidad recibida en una pantalla a una cierta distancia de dicha rendija (señalada por la línea azul de puntos). Como consecuencia de la superposición de las ondas secundarias procedentes por las dos rendijas la distribución de la intensidad recibida en la pantalla resulta con una sucesión de máximos y mínimos de intensidad equidistantes entre sí. El máximo de mayor intensidad se ubica enfrente del centro geométrico entre las dos rendijas. En el clip de video adjunto, que filmaron los estudiantes en el laboratorio, se observa una situación similar producida en la cubeta de ondas. Un alumno genera inicialmente una onda (su foco a la izquierda de la imagen). Un poco después, el profesor genera la segunda onda (su foco a la derecha de la imagen), procurando que sea de la misma frecuencia que la producida por el estudiante. Tal como explica el profesor, al superponerse ambas ondas se producen interferencias, observándose entre ambos focos líneas claras y oscuras que se corresponden con los vientres y los nodos (donde se producen interferencias constructivas y destructivas). En todos estos procesos se obtiene en la pantalla un figura típica de franjas de interferencia, cuya forma depende de la forma geométrica que tengan las rendijas o aberturas (por ejemplo, rectangulares, circulares..) y cuya localización se puede prever en función de la separación existente entre las rendijas y la distancia a la que se coloca la pantalla. En todos los casos, el máximo de intensidad se ubica enfrente del centro geométrico entre los dos focos. Las interferencias se pueden aprovechar para incrementar señales ondulatorias o para disminuirlas. Así, por ejemplo, en un teatro interesa que los sonidos que puede enviar un apuntador a los actores interfieran constructivamente en el escenario donde actúan y en cambio no se oigan en la zona donde se sientan los espectadores. Igualmente se precisa que la voz de los actores llegue alta y clara a los espectadores. Estos recintos tienen una geometría que considera estas necesidades, procurando que después de múltiples reflexiones (en paredes y techos) los sonidos interfieran de la forma más adecuada en cada zona. CONDICIONES DE FRONTERA Y SUPERPOSICION La interferencia de dos ondas con la misma frecuencia y amplitud viajando en sentido contrario se puede obtener por superposicion de la onda incidente y su reflejada en una frontera de separacion. Utilizar diferentes valores del coeficiente de reflexion nos va a permitir simular una superposicion de ondas viajando en sentido contrario con igual o diferente amplitud. Consideremos una cuerda limitada en su extremo derecho y en ella la interferencia de una onda incidente con su reflejada La onda resultante de la pantalla corresponde inicialmente a un coeficiente de reflexión 0,5 como podemos comprobar visualizando separadamente la onda incidente y la onda reflejada. En este caso un elemento de cuerda oscila desde su posicion de equilibrio y aparentemente la onda avanza hacia la derecha aunque de forma diferente a la onda incidente. Para poder apreciar mejor porqué son distintas, dejemos la traza marcada el tiempo suficiente para apreciar el area limitada por la envolvente de la amplitud. Esta envolvente es una linea curva donde se aprecian vallles y crestas, lo cual pone de manifiesto que la oscilacion de un punto de la cuerda alcanza un valor máximo (o amplitud) que depende de la posicion aunque no del tiempo transcurrido.(Pausa On / Off). Un coeficiente de reflexion igual a cero implica que no hay reflexion siendo en este caso la onda resultante igual a la onda armónicaincidente Al dibujar la traza observamos que el valor máximo de la oscilacion no depende de la posicion, la envolvente es una linea recta lo que indica una amplitud constante.( Borrar traza) Cuando el valor absoluto del coeficiente de reflexión es igual a la unidad la reflexion es total. En la cuerda cualquiera de los casos, extremo libre o extremo fijo, la linea que delimita la amplitud es similar Coef. R =+1 / (Traza On / Off) / (Pausa On / Off). Coef. R =-1 / (Traza On / Off) / (Pausa On / Off). Esta forma de la envolvente indica que los puntos de la cuerda oscilan con una amplitud diferente según la posicion, la cual va desde un valor nulo a un valor máximo igual al doble de la amplitud incidente. En este caso la superposicion de ondas da lugar a una ONDA ESTACIONARIA porque existen puntos en reposo permanente -NODOS- a través de los cuales no puede haber, en consecuencia, transporte de energia. Los puntos de la cuerda que alcanzan un desplazamiento máximo se les conoce como ANTINODOS o VIENTRES. La separacion entre los nodos (o entre los antinodos) es media longitud de onda y la distancia de nodo a vientre un cuarto de longitud de onda. La onda estacionaria no viaja, en el punto límite no hay perdida de energia y tanto la onda incidente como la reflejada tienen la misma amplitud por lo que la onda resultante tiene de amplitud máxima el doble. Para cualquier valor intermedio del coeficiente de reflexión obtenemos lo que llamamos una ONDA PARCIALMENTE ESTACIONARIA. Visualicemos por ejemplo dos casos CoefR =+0.25 /(Traza On /Off) / (Pausa On /Off). CoefR =+0.75 /(Traza On /Off) / (Pausa On /Off). de los cuales podemos comprobar como a un coeficiente de reflexión menor corresponde una onda resultante con menor amplitud máxima y mayor amplitud mínima. En un medio sin fronteras, no hay restricción sobre las frecuencias o longitudes de onda de las ondas estacionarias, asi lo podemos comprobar en la reflexion total y otra frecuencia (si prefiere observelo con Traza On / Off) . Sin embargo cuando las ondas estan confinadas en el espacio, por ejemplo, si la cuerda está sujeta por ambos extremos las ondas estacionarias pueden generarse sólo para un conjunto discreto de frecuencias. Supongamos que empieza a generarse una nueva onda justo cuando llega un valle de la reflejada, esto ocurre cuando el tiempo que toma una pulsacion en el viaje de ida y vuelta es múltiplo del periodo de vibracion. Se genera una onda estacionaria pero con la diferencia de que en este caso ambos extremos permanecen fijos debido a que la amplitud de vibracion es mucho menor que la de la onda estacionaria. Estas condiciones de frontera imponen restricciones a las frecuencias dando lugar a las ONDAS ESTACIONARIAS RESONANTES.

5.4 de una onda transversal

5.4 de una onda transversal

Vamos a analizar la propagación de un movimiento ondulatorio en una cuerda sometida a una tensión y a determinar la velocidad de propagación de las ondas transversales que se forman en la misma.

La onda se propaga con una velocidad constante a lo largo de la cuerda. Si pinchamos una cuerda de guitarra y soltamos, se forma una onda que se propaga por la cuerda y rebota en los puntos de sujeción.

Se propaga con una velocidad que depende de la tensión del pellizco y de la masa por unidad de longitud de la cuerda. A igualdad de pellizco la velocidad de la onda en una "prima"-la cuerda inferior de la guitarra y más delgada- no es igual a aquella con que se propaga en un "bordón".

Los elementos materiales de la cuerda se mueven perpendicularmente a ella, arriba y abajo, con velocidad variable dada por la ecuación de un movimiento vibratorio armónico simple, pero no se desplazan a lo largo de ella. La onda se propaga por la cuerda con una velocidad constante que depende del impulso que se le aplica y del grosor de la cuerda.

Pellizquemos una cuerda. Ahora sólo se esta formando y se ha propagado a un pequeño elemento de cuerda. Veamos esto pormenorizadamente.

La tensión de la cuerda se puede suponer que tiene dos componentes uno vertical y otro horizontal.

Las componentes horizontales se anulan al estar drigidos en sentidos opuestos y neutralizados por la sujeción de las cuerda. La componente vertical de la tensión acelera la masa de un pequeño trozo de la cuerda por donde se propagó la onda en un tiempo "t", muy pequeño (la parte inclinada de la figura).

La densidad lineal, m,es la masa total de la cuerda dividida por su longitud.

Suponiendo una densidad lineal m, de la cuerda representa una masa de cuerda a la que se propagó de m=m·v·t.

La onda se propaga con velocidad "v" y en el tiempo "t" recorre una distancia "v·t"
La velocidad de vibración vertical es variable como corresponde a un M.A.S. y es u=A w sen wt

La fuerza vertical comunica en ese tiempo un impulso hacia arriba al elemento de cuerda, trozo de masa mvt. , va a incrementar su cantidad de movimiento:

Tal como vemos en la figura podemos deducir de lo que avanza la onda mientras transcurre el tiempo "t" y la distancia que bajo que: sen a=tg a =v·t / u·t

Por lo tanto:

Despejando:

Esta fórmula permite conocer la dependencia de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda con la tensión de la cuerda T (N) y con su densidad lineal m (kg/m)y poder hallar su valor.

La expresión de la velocidad de propagación del sonido en el aire es semejente a la anterior pero en lugar de la tensión se pone la presión atmosférica y la densidad lineal se sustituye por la densidad del aire.

5.3 Descripción matemática de una onda

5.3  Descripción matemática de una onda


Introducimos la funciòn de onda = como una funcion matematica, que describe la posicion de cualquier partıcula en un medio en cualquier instante de tiempo.

Para una cuerda:

El movimiento cíclico de diversos puntos de la cuerda estan desfasados uno con respeto a otro en diversas fracciones del ciclo (ver Figura I.4.1).


A esto llamamos = diferencia de fase


La diferencia de fase debido al movimiento difiere para distintos puntos. 

Figura I.4.1: Onda senosoidal transversal que viaja a la derecha a lo largo de una cuerda. Se muestra la forma de la cuerda a intervalos de 1 8 de periodo; la escala vertical est´a exagerada

La funcion de onda cuando el desplazamiento es, x = 0, se describe como:

y(0,t) = A sen(−ωt) = A sen(−2πf t)

En t = 0, y = 0, el punto se mueve en la direccion +y.


La perturbacion viaja desde x = 0 hacia algun otro punto x, a la derecha en un tiempo t = x/ν

As´ı el movimiento del punto y en un instante t es el mismo que el movimiento del punto x = 0 en el instante t − x/ν

donde 1/λ = f /ν y f = 1/T. En terminos del periodo T y la longitud de onda λ:

Utilizando el n´umero de onda, κ = 2π/ λ , y como , λ = 2π/κ , f = ω/2π , y ν = λf .

Obtenemos que ω = νκ, por lo tanto la funci´on de onda queda como: 

y(x,t) = A sen(κx − ωt) 

Si la onda viaja en la direccion:

La cantidad ωt ± κx es la fase.

La rapidez de la onda es la rapidez en que tenemos que movernos para mantenernos junto a un punto con una fase dada.

Para una onda viajando hacia x > 0, κx − ωt = cte.

Derivando respeto a t: ω = κ dx/dt o dx/dt = ω/κ es la velocidad de la fase. 

Ejemplo: Onda periodica en una cuerda infinita.

La extremidad de la cuerda se mueve como un MAS (Movimiento Armonico Simple).

Con f = 2.0 Hz, A = 0.075 m y ν = 12.0 m/s. En t = 0

la posicion inicial es y = x = 0.

Las partıculas de la cuerda describe un MAS: Con amplitud A = 0.075 m

a) ¿Calcular la frecuencia angular?

b) ¿Calcular el periodo?

c) ¿Calcular la longitud de onda?

d) ¿Calcular el numero de onda?

e) Describir la funcion de onda:

f) Describir la funcion de onda en x = 3 m: